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一種獲取反應堆物理柵格計算重要參數靈敏度系數的方法.pdf

摘要
申請專利號:

CN201510726692.2

申請日:

2015.10.30

公開號:

CN105426342A

公開日:

2016.03.23

當前法律狀態:

授權

有效性:

有權

法律詳情: 授權|||實質審查的生效IPC(主分類):G06F 17/15申請日:20151030|||公開
IPC分類號: G06F17/15; G06F17/16 主分類號: G06F17/15
申請人: 西安交通大學
發明人: 曹良志; 劉勇; 吳宏春
地址: 710049陜西省西安市咸寧路28號
優先權:
專利代理機構: 西安智大知識產權代理事務所61215 代理人: 何會俠
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法律狀態
申請(專利)號:

CN201510726692.2

授權公告號:

||||||

法律狀態公告日:

2016.10.12|||2016.04.20|||2016.03.23

法律狀態類型:

授權|||實質審查的生效|||公開

摘要

一種獲取反應堆物理柵格計算重要參數靈敏度系數的方法,1、針對具體的反應堆物理計算問題建立計算模型;2、采用子群共振自屏方法進行共振自屏計算,針對快群源項和共振能群源項,以及共振自屏截面,建立對應的廣義共軛方程,對廣義共軛方程進行求解,得到共振自屏截面靈敏度系數;3、針對需要計算的重要參數,建立并求解與之對應的廣義共軛方程,得到該參數的顯式靈敏度系數;4、結合共振自屏截面的靈敏度系數和共振自屏截面的顯式靈敏度系數,得到隱式靈敏度系數,總的靈敏度系數等于顯式靈敏度系數與隱式靈敏度系數之和;能夠快速地得到任意能表示成通量或共軛通量泛函的參數的靈敏度系數,同時考慮了隱式影響,使得靈敏度系數更加精確。

權利要求書

1.一種獲取反應堆物理柵格計算重要參數靈敏度系數的方法,其特征在于:
該方法包括以下步驟:
步驟1:基于微擾理論,將多輸入參數的反應堆物理計算需要大量擾動計算
才能得到靈敏度系數的問題,轉化為只需一次前向計算和一次共軛計算就能獲
取某一計算結果對所有輸入參數的靈敏度系數的問題;
設反應堆物理計算中某重要參數為R,以下稱為響應,表示成通量或者共軛
通量的線性泛函,設為:
R Φ * ( ξ ) H 1 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ Φ * ( ξ ) H 2 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ ]]>公式(3)
式中:
Φ——中子角通量密度;
Φ*——共軛中子角通量密度;
ξ——問題求解的空間;
Σ(ξ)——同求解空間相關的截面數據;
H1[Σ(ξ)],H2[Σ(ξ)]——依賴于截面數據的算子;
建立與響應R的表達式對應的廣義共軛輸運方程:
M * Γ * = H 1 * Φ * < Φ * H 1 Φ > - H 2 * Φ * < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(10)
M Γ = H 1 Φ < Φ * H 1 Φ > - H 2 Φ < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(15)
式中:
M——輸運算子;
Γ——廣義通量密度;
M*——輸運算子的共軛算子;
Γ*——廣義共軛通量密度;
步驟2:采用廣泛應用的輸運求解方法——組件模塊化特征線方法MOC作
為二維輸運方程的求解方法,對中子輸運方程、共軛中子輸運方程,以及廣義
共軛輸運方程進行求解;
特征線方法能夠實現一般中子輸運方程的求解,但是對于共軛中子輸運方
程以及廣義共軛輸運方程,需要對求解流程作一點修改;
對于共軛中子輸運方程計算,在計算之前,需要如下操作:
(1)將散射矩陣轉置;
(2)將材料的裂變產生截面同裂變譜χ向量互換;
(3)將所有截面的能群號按如下方式變化:
完成上述操作之后,輸運求解器能夠完成基本的共軛中子輸運方程的求解;
當求解廣義共軛輸運方程,還需要如下操作:
(1)將建立共軛源作為問題的外源項;
(2)對于公式(10)將裂變源的更新按如下形式進行:
FS g = f g 4 πk e f f Σ h = 1 G χ h ( Γ h * - < F * Γ * , Φ > < F * Φ * , Φ > Φ h * ) ]]>公式(18)
式中:
FSg——第g群裂變源;
——裂變產生截面;
keff——有效增殖因子;
χ——裂變譜;
Γ*——廣義共軛通量密度;
F*——中子輸運方程裂變算子的共軛算子;
Φ——前向中子通量密度;
Φ*——共軛中子通量密度;
其計算流程與傳統的中子輸運方程計算流程基本一致,不同點在于:(1)
不需要進行特征值的更新,方程中的特征值使用的是中子輸運方程求解得到的
特征值;(2)每一次外迭代得到的通量用于裂變源更新時采用公式(18);
對于方程(15)將裂變源的更新按如下形式進行:
FS g = χ g 4 πk e f f Σ h = 1 G f h ( Γ h - < F Γ , Φ * > < F Φ , Φ * > Φ h ) ]]>公式(19)
式中:
Γ——廣義通量密度;
F——中子輸運方程裂變算子;
當采用輸運求解器完成共軛中子輸運方程或者廣義共軛輸運方程的求解之
后,需要將獲得的角通量在角度上反轉,在能群上顛倒,從而為下一步計算提
供正確的通量信息;
步驟3:在步驟1建立的方法的基礎上,該步針對子群共振計算方法,建立
相應的子群廣義共軛方程;采用步驟2建立的求解方法,選取組件模塊化特征
線方法MOC作為二維輸運求解方法,求解子群廣義共軛方程,為共振自屏截面
的靈敏度系數計算提供廣義共軛通量;
子群方法中,共振自屏截面的表達式為:
σ x , g = ΔE g σ x ( E ) φ ( E ) d E ΔE g φ ( E ) d E = Σ i = 1 , N ΔE i σ x ( E ) φ ( E ) d E Σ i = 1 , N ΔE i φ ( E ) d E = Σ i = 1 , N σ x , g , i φ g , i Σ i = 1 , N φ g , i ]]>公式(31)
式中:
g——能群標號;
i——子群標號;
N——子群總數;
σx(E)——x反應的連續能量截面;
φ(E)——權重譜;
σx,g,i——共振截面x的第g共振能群的第i個子群截面;
公式(31)中的子群參數通過帕德近似求解,而子群通量通過求解子群輸運方
程得到;
設子群輸運方程為:
Ω · φ g , i ( r , Ω ) + Σ t , g , i ( r ) φ g , i ( r , Ω ) = Q s , g , i ( r , Ω ) ]]>公式(32)
式中:
g——共振能群標號;
i——子群標號;
r——空間位置變量;
Ω——角度變量;
φg,i(r,Ω)——能群g的第i子群的中子通量密度;
Σt,g,i(r)——能群g的第i子群的宏觀總截面;
Qs,g,i(r,Ω)——散射源項;
將上述方程寫成算子形式為:
Lgφg=Qg公式(33)
式中:
Lg——第g個共振能群的子群輸運方程的輸運算子;
Qg——第g個共振能群的子群輸運方程的源項;
利用輸運求解器求解子群輸運方程,得到子群通量后,對子群參數加權得
到共振自屏截面;
子群共振方法的共振截面靈敏度系數計算公式為:
S σ x , g , α = Σ i = 1 N σ x , g , i S σ x , g , α φ g , i Σ i = 1 N σ x , g , i φ g , i + Σ i = 1 N V Ω Γ x , g , i * ( Q g , i S Q g , i , α - α L α φ g , i ) d Ω d V ]]>公式(34)
其中為廣義子群共軛方程的解。它由該共振自屏截面的子群輸運方程對
應的廣義子群共軛方程解得,該廣義子群共軛方程為:
L g * Γ g * = Q g * ]]>公式(35)
式中:
——Lg的共軛算子;
——子群廣義共軛通量;
——子群廣義共軛源;
其中
Q g , i * = σ x , g , i Σ i = 1 N V Ω σ x , g , i φ g , i d Q d V - 1 Σ i = 1 N V Ω φ g , i d Q d V ]]>公式(36)
式中
Q g , i * ]]>——第i個子群的源項;
σx,g,i——第i個子群截面;
注意到式(34)中存在子群參數靈敏度系數,考慮采用帕德近似方法求解子群
參數的過程中,采用直接擾動方法求解子群參數靈敏度系數;對于各共振核素,
逐群擾動其連續能量截面,體現為擾動其共振積分表,設擾動百分比為δ,則根
據差商代替微分的方法求得子群參數的靈敏度系數,即
公式(37)
式中為未擾動的子群參數即子群截面σx,g,i或子群概率pg,i,和分別為正
向和負向擾動α時的子群參數;δ為α的擾動百分比;
此外,式(34)中存在源項Qg對α的靈敏度系數,這一項的求解同樣采用步驟
1建立的方法;采用的子群共振自屏計算方法中,源項分成快群散射源項Qf,g和
上游共振能群散射源項Qr,g,分別為:
Q f , g = Σ g G f a s t Ω Σ s , g g φ g ( r , Ω ) d Ω ]]>公式(38)
Q r , g = Σ g < g Σ s , g g Σ i = 1 N Ω φ g , i ( r , Ω ) d Ω ]]>公式(39)
對于共振能群g,分別對上述兩種源建立廣義共軛方程:
L g , g * Ψ g , g * = Σ s , g g ]]>公式(40)
式中:
——快群輸運算子;
——廣義共軛通量;
g’——快群標號;
Σs,g'→g——快群到共振能群的散射截面;
而對于上游共振能群g’,有
L g , i * Ψ i * = E s , g g , i ]]>公式(41)
式中:
——子群輸運算子的共軛算子;
——廣義共軛通量;
g’——上游共振能群標號;
i——第g’群的子群標號;
Σs,g'→g,i——上游共振能群g’到當前共振能群g的第i個子群的散射截面;
采用輸運求解器求解方程式(40)和(41),得到對應的廣義共軛通量;由下式求
得源項的靈敏度系數
S Q g , α = α Q g < Σ s α φ > + α Q g < Ψ * , Q α - L α φ > ]]>公式(42)
式中:
Qg——快群散射源項或上游共振能群散射源項;
Σs——快群或上游共振能群到當前共振能群的散射截面;
Q'——求解源項的輸運方程的右端源項;
步驟4:針對反應堆物理柵格計算的重要參數,根據步驟1建立的方法獲取
與之對應的廣義共軛方程,利用步驟2的輸運求解器,求解獲取通量、共軛通
量以及廣義通量;從而得到各重要參數的顯式靈敏度系數;
設某重要參數為R,表示成通量或者共軛通量的線性泛函,設為:
R Φ * ( ξ ) H 1 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ Φ * ( ξ ) H 2 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ ]]>公式(43)
注意這里R具有一般性,只要是能表示成上述形式的重要參數,都能夠進
行靈敏度系數的求解;
建立對應的廣義共軛源項:
Q 1 = d R / d Φ R = H 1 * Φ * < Φ * H 1 Φ > - H 2 * Φ * < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(44)
Q 2 = d R / * R = H 1 Φ < Φ * H 1 Φ > - H 2 Φ < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(45)
利用輸運求解器分別求解:
M*Γ*=Q1公式(46)
MΓ=Q2公式(47)
獲取通量、廣義共軛通量以及廣義通量后,顯式靈敏度系數由下式計算得
到:
S R , α exp = d R / R d α / α = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) +< Γ * ,M d Φ d α >+< Γ ,M * * d α > } = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) - < Γ * , d M d α Φ >-< Γ , dM * d α Φ * > } ]]>公式(48)
步驟5:根據步驟3得到的共振自屏截面的靈敏度系數和步驟4得到的顯式
靈敏度系數,計算出考慮了隱式影響的靈敏度系數;
S R , α t o t = S R , α exp + S R , α i m p = S R , α exp + Σ g Σ z , x , j S R , σ z , x , g ( j ) exp S σ z , x , g ( j ) , α ]]>公式(49)
其中j表示共振核素。

說明書

一種獲取反應堆物理柵格計算重要參數靈敏度系數的方法

技術領域

本發明涉及核反應堆堆芯設計和安全領域,具體涉及一種獲取反
應堆物理柵格計算重要參數靈敏度系數的方法。

背景技術

傳統的核反應堆設計和運行往往采用保守計算,或者設置足夠大
的安全裕量來保證反應堆的安全。這種做法雖然一定程度上能保證反
應堆的安全性,但是喪失了極大的經濟性。近年來,國際上在核研究、
核工業、核安全和核監管等領域對于提供核反應堆安全參數的“最佳
估計值+不確定性”的需求日益增長。

在反應堆物理柵格計算針對核數據的敏感性和不確定性分析中,
靈敏度系數計算是獲取計算結果不確定度的重要環節,因此靈敏度系
數的計算就顯得特別重要。根據柵格計算先進行共振計算,再進行多
群中子輸運計算的特點,靈敏度系數可被分為隱式靈敏度系數和顯式
靈敏度系數兩部分。前者是核數據通過在共振計算中對共振截面的影
響,再體現到對中子輸運方程計算結果的一種間接影響;后者是核數
據通過中子輸運方程求解對計算結果的一種直接影響。然而,目前很
多敏感性和不確定性分析程序中,作為間接影響的隱式敏感性往往被
忽略,而只考慮了作為直接影響的顯式敏感性,這勢必會引入一定誤
差。此外,目前隱式敏感性分析往往基于較為簡單的共振自屏方法,
而針對當前比較主流的共振計算方法——子群方法的隱式敏感性分
析并不廣泛和深入。另一方面,目前有效增值因子的敏感性和不確定
性受到廣泛的重視,但對其它重要參數(例如少群常數、功率分布等)
的分析計算不夠充分。如果要將柵格計算結果的不確定性傳遞到堆芯
計算,諸如少群常數等重要參數的不確定度計算就必不可少。

因此有必要發明一種切實可行的方法,對反應堆物理柵格計算中
各種重要參數進行敏感性和不確定性分析,并能夠針對目前廣泛應用
的子群共振自屏方法進行隱式敏感性分析,從而使得敏感性和不確定
性的計算更加精確。

發明內容

為了獲取反應堆物理柵格計算中重要參數對核數據的靈敏度系
數,同時考慮隱式敏感性,本發明提出了一種獲取反應堆物理柵格計
算重要參數靈敏度系數的方法,是能夠精確考慮反應堆物理柵格計算
中的靈敏度系數的計算方法。

為了實現上述目的,本發明采用以下技術方案予以實施:

一種獲取反應堆物理柵格計算重要參數靈敏度系數的方法,該方
法包括以下步驟:

步驟1:基于微擾理論,將多輸入參數的反應堆物理計算需要大
量擾動計算才能得到靈敏度系數的問題,轉化為只需一次前向計算和
一次共軛計算就能獲取某一計算結果對所有輸入參數的靈敏度系數
的問題;

設反應堆物理計算中某重要參數為R,以下稱為響應,表示成通
量或者共軛通量的線性泛函,設為:

R Φ * ( ξ ) H 1 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ Φ * ( ξ ) H 2 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ ]]>公式(3)

式中:

Φ——中子角通量密度;

Φ*——共軛中子角通量密度;

ξ——問題求解的空間;

Σ(ξ)——同求解空間相關的截面數據;

H1[Σ(ξ)],H2[Σ(ξ)]——依賴于截面數據的算子;

建立與響應R的表達式對應的廣義共軛輸運方程:

M * Γ * = H 1 * Φ * < Φ * H 1 Φ > - H 2 * Φ * < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(10)

M Γ = H 1 Φ < Φ * H 1 Φ > - H 2 Φ < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(15)

式中:

M——輸運算子;

Γ——廣義通量密度;

M*——輸運算子的共軛算子;

Γ*——廣義共軛通量密度;

步驟2:采用廣泛應用的輸運求解方法——組件模塊化特征線方
法MOC作為二維輸運方程的求解方法,對中子輸運方程、共軛中子
輸運方程,以及廣義共軛輸運方程進行求解;

特征線方法能夠實現一般中子輸運方程的求解,但是對于共軛中
子輸運方程以及廣義共軛輸運方程,需要對求解流程作一點修改;

對于共軛中子輸運方程計算,在計算之前,需要如下操作:

(1)將散射矩陣轉置;

(2)將材料的裂變產生截面同裂變譜χ向量互換;

(3)將所有截面的能群號按如下方式變化:

完成上述操作之后,輸運求解器能夠完成基本的共軛中子輸運方
程的求解;

當求解廣義共軛輸運方程,還需要如下操作:

(1)將建立共軛源作為問題的外源項;

(2)對于公式(10)將裂變源的更新按如下形式進行:

FS g = νΣ f g 4 πk e f f Σ h = 1 G χ h ( Γ h * - < F * Γ * , Φ > < F * Φ * , Φ > Φ h * ) ]]>公式(18)

式中:

FSg——第g群裂變源;

——裂變產生截面;

keff——有效增殖因子;

χ——裂變譜;

Γ*——廣義共軛通量密度;

F*——中子輸運方程裂變算子的共軛算子;

Φ——前向中子通量密度;

Φ*——共軛中子通量密度;

其計算流程與傳統的中子輸運方程計算流程基本一致,不同點在
于:(1)不需要進行特征值的更新,方程中的特征值使用的是中子輸
運方程求解得到的特征值;(2)每一次外迭代得到的通量用于裂變源
更新時采用公式(18);

對于方程(15)將裂變源的更新按如下形式進行:

FS g = χ g 4 πk e f f Σ h = 1 G νΣ f h ( Γ h - < F Γ , Φ * > < F Φ , Φ * > Φ h ) ]]>公式(19)

式中:

Γ——廣義通量密度;

F——中子輸運方程裂變算子;

當采用輸運求解器完成共軛中子輸運方程或者廣義共軛輸運方
程的求解之后,需要將獲得的角通量在角度上反轉,在能群上顛倒,
從而為下一步計算提供正確的通量信息;

步驟3:在步驟1建立的方法的基礎上,該步針對子群共振計算
方法,建立相應的子群廣義共軛方程;采用步驟2建立的求解方法,
選取組件模塊化特征線方法MOC作為二維輸運求解方法,求解子群
廣義共軛方程,為共振自屏截面的靈敏度系數計算提供廣義共軛通
量;

子群方法中,共振自屏截面的表達式為:

σ x , g = ΔE g σ x ( E ) φ ( E ) d E ΔE g φ ( E ) d E = Σ i = 1 , N ΔE i σ x ( E ) φ ( E ) d E Σ i = 1 , N ΔE i φ ( E ) d E = Σ i = 1 , N σ x , g , i φ g , i Σ i = 1 , N φ g , i ]]>公式(31)

式中:

g——能群標號;

i——子群標號;

N——子群總數;

σx(E)——x反應的連續能量截面;

φ(E)——權重譜;

σx,g,i——共振截面x的第g共振能群的第i個子群截面;

公式(31)中的子群參數通過帕德近似求解,而子群通量通過求解
子群輸運方程得到;

設子群輸運方程為:

Ω·▽φg,i(r,Ω)+Σt,g,i(r)φg,i(r,Ω)=Qs,g,i(r,Ω)公式(32)

式中:

g——共振能群標號;

i——子群標號;

r——空間位置變量;

Ω——角度變量;

φg,i(r,Ω)——能群g的第i子群的中子通量密度;

Σt,g,i(r)——能群g的第i子群的宏觀總截面;

Qs,g,i(r,Ω)——散射源項;

將上述方程寫成算子形式為:

Lgφg=Qg公式(33)

式中:

Lg——第g個共振能群的子群輸運方程的輸運算子;

Qg——第g個共振能群的子群輸運方程的源項;

利用輸運求解器求解子群輸運方程,得到子群通量后,對子群參
數加權得到共振自屏截面;

子群共振方法的共振截面靈敏度系數計算公式為:

S σ x , g , α = Σ i = 1 N σ x , g , i S σ x , g , i , α φ g , i Σ i = 1 N σ x , g , i φ g , i + Σ i = 1 N V Ω Γ x , g , i * ( Q g , i S Q g , i , α - α L α φ g , i ) d Ω d V ]]>公式(34)

其中為廣義子群共軛方程的解。它由該共振自屏截面的子群
輸運方程對應的廣義子群共軛方程解得,該廣義子群共軛方程為:

L g * Γ g * = Q g * ]]>公式(35)

式中:

——Lg的共軛算子;

——子群廣義共軛通量;

——子群廣義共軛源;

其中

Q g , i * = σ x , g , i Σ i = 1 N V Ω σ x , g , i φ g , i d Ω d V - 1 Σ i = 1 N V Ω φ g , i d Ω d V ]]>公式(36)

式中

——第i個子群的源項;

σx,g,i——第i個子群截面;

注意到式(34)中存在子群參數靈敏度系數,考慮采用帕德近似方
法求解子群參數的過程中,采用直接擾動方法求解子群參數靈敏度系
數;對于各共振核素,逐群擾動其連續能量截面,體現為擾動其共振
積分表,設擾動百分比為δ,則根據差商代替微分的方法求得子群參
數的靈敏度系數,即

公式(37)

式中為未擾動的子群參數即子群截面σx,g,i或子群概率pg,i,和
分別為正向和負向擾動α時的子群參數;δ為α的擾動百分比;

此外,式(34)中存在源項Qg對α的靈敏度系數,這一項的求解同
樣采用步驟1建立的方法;采用的子群共振自屏計算方法中,源項分
成快群散射源項Qf,g和上游共振能群散射源項Qr,g,分別為:

Q f , g = Σ g G f a s t Ω Σ s , g g φ g ( r , Ω ) d Ω ]]>公式(38)

Q r , g = Σ g < g Σ s , g g Σ i = 1 N Ω φ g , i ( r , Ω ) d Ω ]]>公式(39)

對于共振能群g,分別對上述兩種源建立廣義共軛方程:

L g , g * Ψ g , g * = Σ s , g g ]]>公式(40)

式中:

——快群輸運算子;

——廣義共軛通量;

g’——快群標號;

Σs,g'→g——快群到共振能群的散射截面;

而對于上游共振能群g’,有

L g , i * Ψ i * = Σ s , g g , i ]]>公式(41)

式中:

——子群輸運算子的共軛算子;

——廣義共軛通量;

g’——上游共振能群標號;

i——第g’群的子群標號;

Σs,g'→g,i——上游共振能群g’到當前共振能群g的第i個子群的散射
截面;

采用輸運求解器求解方程式(40)和(41),得到對應的廣義共軛通
量;由下式求得源項的靈敏度系數

S Q g , α = α Q g < Σ s α φ > + α Q g < Ψ * , Q α - L α φ > ]]>公式(42)

式中:

Qg——快群散射源項或上游共振能群散射源項;

Σs——快群或上游共振能群到當前共振能群的散射截面;

Q'——求解源項的輸運方程的右端源項;

步驟4:針對反應堆物理柵格計算的重要參數,根據步驟1建立
的方法獲取與之對應的廣義共軛方程,利用步驟2的輸運求解器,求
解獲取通量、共軛通量以及廣義通量;從而得到各重要參數的顯式靈
敏度系數;

設某重要參數為R,表示成通量或者共軛通量的線性泛函,設為:

R Φ * ( ξ ) H 1 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ Φ * ( ξ ) H 2 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ ]]>公式(43)

注意這里R具有一般性,只要是能表示成上述形式的重要參數,
都能夠進行靈敏度系數的求解;

建立對應的廣義共軛源項:

Q 1 = d R / d Φ R = H 1 * Φ * < Φ * H 1 Φ > - H 2 * Φ * < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(44)

Q 2 = d R / * R = H 1 Φ < Φ * H 1 Φ > - H 2 Φ < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(45)

利用輸運求解器分別求解:

M*Γ*=Q1公式(46)

MΓ=Q2公式(47)

獲取通量、廣義共軛通量以及廣義通量后,顯式靈敏度系數由下
式計算得到:

S R , α exp = d R / R d α / α = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) + < Γ * , M d Φ d α > + < Γ , M * * d α > } = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) - < Γ * , d M d α Φ > - < Γ , dM * d α Φ * > } ]]>公式(48)

步驟5:根據步驟3得到的共振自屏截面的靈敏度系數和步驟4
得到的顯式靈敏度系數,計算出考慮了隱式影響的靈敏度系數;

S R , α t o t = S R , α exp + S R , α i m p = S R , α exp + Σ g Σ z , x , j S R , σ z , x , g ( j ) exp S σ z , x , g ( j ) , α ]]>公式(49)

其中j表示共振核素。

與現有技術相比,本發明具有如下優點:

1.由于本發明能夠考慮核素截面擾動在子群共振自屏計算過程
中對共振自屏截面的影響,因此可以得到核截面數據的考慮
了隱式影響的靈敏度系數,使得靈敏度系數的計算更加精確。

2.基于微擾理論,能夠建立任意中子通量或共軛通量的泛函的
靈敏度系數計算方法,因此可以對反應堆物理計算中多種重
要參數進行敏感性計算分析,此外由于微擾理論本身能夠快
速計算多輸入擾動影響的優點,因此本發明可以對存在大量
輸入參數的反應堆物理計算問題進行快速的敏感性計算,而
不要對大量的輸入參數進行逐一的擾動,從而提高了計算效
率。

附圖說明

圖1是靈敏度系數計算流程圖。

圖2是特征線方法求解中子輸運方程流程圖。

圖3是特征線方法求解廣義共軛方程流程圖。

圖4是典型壓水堆柵元顯式和隱式靈敏度系數對比圖。

具體實施方式

下面結合附圖和具體實施方式對本發明進行詳細說明。

如圖1所示,本發明是一種獲取反應堆物理柵格計算重要參數靈
敏度系數的方法,包括如下步驟:

步驟1:基于微擾理論,將多輸入參數的反應堆物理計算需要大
量擾動計算才能得到靈敏度系數的問題,轉化為只需一次前向計算和
一次共軛計算就能獲取某一計算結果對所有輸入參數的靈敏度系數
的問題。

設中子輸運方程為如下算子形式:

MΦ=(L-λF)Φ=0公式(1)

式中:

M——輸運算子;

F——裂變源項算子;

L——輸運算子中除裂變源項算子以外的其它算子;

Φ——中子角通量密度;

λ——方程的特征值(λ=1/keff),keff為系統有效增值因子。

設中子輸運方程的共軛方程為:

M*Φ*=(L*-λF*)Φ*=0公式(2)

式中:

M*——輸運算子的共軛算子;

F*——裂變源項算子的共軛算子;

L*——輸運算子中除裂變源項算子以外的其它算子的共軛算子;

Φ*——共軛中子角通量密度。

設反應堆物理計算中某重要參數為R(以下稱為響應),可以表示
成通量或者共軛通量的線性泛函,設為:

R Φ * ( ξ ) H 1 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ Φ * ( ξ ) H 2 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ ]]>公式(3)

式中:

ξ——問題求解的空間;

Σ(ξ)——同求解空間相關的截面數據;

H1[Σ(ξ)],H2[Σ(ξ)]——依賴于截面數據的算子。

相對靈敏度系數表示當α相對擾動1%時,R相對改變的百分比,
其定義為:

S R , α = α R d R d α ]]>公式(4)

式中:

α——多群微觀截面;

SR,α——響應R對α的的靈敏度系數。

則由靈敏度系數定義,有:

S = d R / R d α / α = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) + ( < Φ * H 1 d Φ d α > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * H 2 d Φ d α > < Φ * H 2 Φ > ) } = α { ( < * d α H 1 Φ > < Φ * H 1 Φ > - < * d α H 2 Φ > < Φ * H 2 Φ > ) } ]]>公式(5)

式中<>表示在問題求解空間ξ上積分。

整理上式得到:

S = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) + < ( < H 1 * Φ * > < Φ * H 1 Φ > - < H 2 * Φ * > < Φ * H 2 Φ > ) d Φ d α > + < ( < H 1 Φ > < Φ * H 1 Φ > - < H 2 Φ > < Φ * H 2 Φ > ) * d α > } ]]>公式(6)

上式中通量對α的倒數項可以通過微理論建立方法來進行求解。
對于中子輸運方程兩邊對α求導:

d M d α Φ + M d Φ d α = 0 ]]>公式(7)

于是

M d Φ d α = - d M d α Φ ]]>公式(8)

取與對應的廣義共軛函數并作積分:

< Γ * , M d Φ d α > = < M * Γ * , d Φ d α > ]]>公式(9)


M * Γ * = H 1 * Φ * < Φ * H 1 Φ > - H 2 * Φ < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(10)

根據式(8)和式(9)有

< Γ * , M d Φ d α > = - < Γ * , d M d α Φ > ]]>公式(11)

所以只要廣義共軛函數求出來,就能計算出上式左端項,也就得
到了式(6)右端第二項。

對于式(6)右端第三項同理,對共軛中子輸運方程兩邊對α求導:

dM * d α Φ * + M * * d α = 0 ]]>公式(12)

移項有:

M * * d α = - dM * d α Φ * ]]>公式(13)

對于取其廣義共軛通量并積分:

< Γ , M * * d α > = < M Γ , * d α > ]]>公式(14)


M Γ = H 1 Φ < Φ * H 1 Φ > - H 2 Φ < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(15)

根據式(13)和式(14),有:

< Γ , M * * d α > = - < Γ , dM * d α Φ * > ]]>公式(16)

所以,只要得到了廣義共軛通量,就能得到上式左端項,也就得
到了式(6)的右端第三項。

從而,可以將靈敏度系數的計算轉化為:

S = d R / R d α / α = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) + < Γ * , M d Φ d α > + < Γ , M * * d α > } = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) - < Γ * , d M d α Φ > - < Γ , dM * d α Φ * > } ]]>公式(17)

根據以上基于微擾理論的推導,對于給定的可以表示成通量或者
共軛通量的泛函的任意響應,不需要對輸入參數一個一個進行擾動來
計算其靈敏度系數,而只需對其建立與之對應的廣義(共軛)方程,求
解這樣帶有外源和裂變源的中子輸運方程,得到廣義(共軛)通量,就
能計算出這種響應對所有輸入參數的靈敏度系數。與直接擾動方法相
比,在響應數量較少時,具有很高的計算效率。

步驟2:由步驟1的方法所得到的方程,需要進行數值求解。選
取組件模塊化特征線方法(MOC)作為二維輸運求解方法,對中子輸運
方程、共軛中子輸運方程以及廣義共軛輸運方程進行求解。

特征線方法是求解中子輸運方程的成熟而有效方法,能夠實現一
般中子輸運方程的求解,其求解流程如圖2所示。該求解流程一般稱
為源迭代法,是一種非常成熟的方法,描述如下:開始任意假定一個
初始的裂變源分布,并假定一個初始的特征值,將其帶入方程(1)得到
一個普通的非齊次方程組,通過組件模塊化特征線方法進行內迭代,
即對某一群進行求解區域的掃描,在各群內迭代收斂并且能群掃描完
成,可以求得更新的中子通量分布和特征值,利用更新的中子通量分
布和特征值,進行下一次的區域掃描,直到收斂為止。

但是對于共軛中子輸運方程,以及廣義共軛方程,需要對求解流
程作一點修改。

對于共軛中子輸運方程計算,在計算之前,需要如下操作:

(1)將散射矩陣轉置;

(2)將材料的(裂變產生截面)同χ(裂變譜)向量互換;

(3)將所有截面的能群號按如下方式變化:

完成上述操作之后,輸運求解器可以完成基本的共軛中子輸運方
程的求解。當求解廣義共軛輸運方程,還需要如下操作:

(1)將建立共軛源作為問題的外源項;

(2)對于方程(10)將裂變源的更新按如下形式進行:

FS g = νΣ f g 4 πk e f f Σ h = 1 G χ h ( Γ h * - < F * Γ * , Φ > < F * Φ * , Φ > Φ h * ) ]]>公式(18)

式中:

FSg——第g群裂變源;

——裂變產生截面;

keff——有效增殖因子;

χ——裂變譜;

Γ*——廣義共軛通量密度;

F*——中子輸運方程裂變算子的共軛算子;

Φ——前向中子通量密度;

Φ*——共軛中子通量密度。

其求解流程如圖3所示。該求解流程同上面描述的圖2的求解流程基
本一致,但主要有兩點區別:(1)不需要進行特征值的更新,方程中
的特征值使用的是一般中子輸運方程求得的特征值;(2)每一次外迭
代得到的通量進行裂變源更新時,都需要采用式(18)的形式進行。

對于方程(15)將裂變源的更新按如下形式進行:

FS g = χ g 4 πk e f f Σ h = 1 G νΣ f h ( Γ h - < F Γ , Φ * > < F Φ , Φ * > Φ h ) ]]>公式(19)

式中:

Γ——廣義通量密度;

F——中子輸運方程裂變算子。

當采用輸運求解器完成共軛中子輸運方程或者廣義共軛輸運方
程的求解之后,需要將獲得的角通量在角度上反轉,在能群上顛倒,
從而為下一步計算提供正確的通量信息。

步驟3:在步驟1建立的方法的基礎上,該步針對子群共振自屏
方法,建立相應的子群廣義共軛方程;采用步驟2建立的求解方法,
選取組件模塊化特征線方法(MOC)作為二維輸運求解方法,求解子群
廣義共軛方程,為共振自屏截面的靈敏度系數計算提供廣義共軛通
量。

在共振自屏計算過程中,往往需要求解慢化方程或者輸運方程來
計算問題相關的權重函數φ(E),以得到問題相關的多群自屏截面:

σ x , g ( j ) = g σ x ( j ) ( E ) φ ( E ) d E g φ ( E ) d E ]]>公式(20)
式中:

——核素j的x反應的第g群共振截面。

其中φ(E)往往通過求解一個慢化方程或者輸運方程得到,設其算
子形式為:

Lφ(E)=Q(E)公式(21)

式中:

φ(E)——權重譜;

L——相應的慢化或輸運算子;

Q——源項。

各種核素會參與權重譜的求解,其截面擾動會影響到作為權重的
通量,從而影響多群自屏截面。如果多群截面為α,共振核素共振自
屏截面對非共振核素截面的擾動的靈敏度系數為定義為:

S σ x , g ( j ) , α = α σ x , g ( j ) x , g ( j ) d α ]]>公式(22)

一般地,多群共振自屏截面可以表達成式(20)的形式,為簡化表
達,省略的核素標志j,α表示某核素某反應的某群截面,將等式
兩邊對α求微分,有:

S σ x , g , α = α σ x , g x , g d α = α { g σ x ( E ) α φ ( E ) d E g σ x ( E ) φ ( E ) d E + g σ x ( E ) φ ( E ) α d E g σ x ( E ) φ ( E ) d E - g φ ( E ) α d E g φ ( E ) d E } = g σ x ( E ) S σ x ( E ) , α φ ( E ) d E g σ x ( E ) φ ( E ) d E + α g ( σ x ( E ) g σ x ( E ) φ ( E ) d E - 1 g φ ( E ) d E ) φ ( E ) α d E ]]>公式(23)
式中為連續能量截面對α的靈敏度系數。

式(23)的右端第一項稱為α擾動的直接影響,該項表示α擾動對
該能量段共振截面的直接影響,只有在α為一些基本物理量(共振能
量、共振峰寬度等)時該項才非零;右端第二項稱為α擾動的間接影
響,即通過影響作為權重的通量而間接影響共振截面值。

直接項的計算可以通過具體公式求導或者采用直接擾動方法進
行求解。

對于間接項,考慮到通量對α的偏導,將式(21)兩邊對α求偏導
有:

L φ ( E ) α = Q ( E ) α - L α φ ( E ) ]]>公式(24)

兩邊同乘以共軛函數在相空間積分得到:

< Γ x , g * ( E ) , L φ ( E ) α > = < Γ x , g * ( E ) , ( Q ( E ) α - L α φ ( E ) ) > ]]>公式(25)

其中<,>代表在求解空間積分,的下標x和g表示廣義共
軛函數同共振截面和共振能群是相關的。根據共軛方程的性質,有:

< Γ x , g * ( E ) , L φ ( E ) α > = < L * Γ x , g * ( E ) , φ ( E ) α > ]]>公式(26)

其中L*為L的共軛算符。對比式(25)和式(26),不妨取廣義共軛方
程為:

L * Γ x , g * ( E ) = σ x ( E ) g σ x ( E ) φ ( E ) d E - 1 g φ ( E ) d E ]]>公式(27)

那么只要得到帶入到式(25)右端,就能得到:

S σ x , g , α = α { g σ x ( E ) α φ ( E ) d E g σ x ( E ) φ ( E ) d E + g ( σ x ( E ) g σ x ( E ) φ ( E ) d E - 1 g φ ( E ) d E ) φ ( E ) α d E } = g σ x ( E ) S σ x ( E ) , α φ ( E ) d E g σ x ( E ) φ ( E ) d E + α < Γ x , g * ( E ) , ( Q ( E ) α - L α φ ( E ) ) > ]]>公式(28)

下面將上述對一般共振方法的推導結果推廣到子群共振計算方
法中。

子群共振計算方法中將能群g共振截面從其最小值到最大值劃
分成若干區間,稱為子群。子群截面的定義為:

σ x , g , i = ΔE i σ x , g ( E ) φ ( E ) d E ΔE i φ ( E ) d E ]]>公式(29)

式中,下標g和i分別表示能群和子群;σx,g,i為第g能群的第i子群
的子群截面;φ(E)為中子通量密度。σx,g(E)為能群g的能量相關截面,
ΔEi的范圍為ΔEi∈{E|σx,i≤σx,g(E)≤σx,i+1}。

本發明中共振計算采用的子群共振自屏方法基于物理概率表,概
率表給出了一個給定能群內的一組截面值和相應的權重。基于窄共振
近似和物理概率表,可以將子群截面按能群給出如下形式:

σ x , g ( σ 0 ) = Σ i = 1 N σ x , g , i p g , i σ t , g , i + σ 0 Σ i = 1 N p g , i σ t , g , i + σ 0 ]]>公式(30)

式中:N為總子群數,σx,g為第g群的多群截面,σ0為背景截面,σt,g,i
為能群g的第i子群的總截面,pg,i為能群g的第i子群的子群概率。

基于帕德近似方法可根據式(30)得到子群截面σx,g,i和子群概率
pg,i。

在得到子群截面σx,g,i和子群概率pg,i后,由于各子群對應的能量段
必然包含于能群g中且不會重復,根據能群平均截面的定義,可將能
群g的平均微觀截面寫成子群的形式:

σ x , g = ΔE g σ x ( E ) φ ( E ) d E ΔE g φ ( E ) d E = Σ i = 1 , N ΔE i σ x ( E ) φ ( E ) d E Σ i = 1 , N ΔE i φ ( E ) d E = Σ i = 1 , N σ x , g , i φ g , i Σ i = 1 , N φ g , i ]]>公式(31)
式中φg,i為子群通量,通過求解子群輸運方程得到。子群輸運方程為:

Ω·▽φg,i(r,Ω)+Σt,g,i(r)φg,i(r,Ω)=Qs,g,i(r,Ω)公式(32)

式中:

φg,i(r,Ω)——能群g的第i子群的中子通量;

Σt,g,i(r)——能群g的第i子群的宏觀總截面;

Qs,g,i(r,Ω)——散射源項;

將上述方程寫成算子形式為:

Lgφg=Qg公式(33)

式中:

Lg——第g個共振能群的子群輸運方程的輸運算子;

Qg——第g個共振能群的子群輸運方程的源項。

對比式(21)和式(31)可以發現,二者的區別在于前者是在能量上
積分,而后者是在子群上求和,前者中子通量一般是通過空間無關的
慢化方程所得,而后者中子通量是通過空間相關的子群輸運方程所
得,因此很容易將前面一般推導的結果推廣到子群方法上面,所以根
據式(28),得到子群共振方法的共振截面靈敏度系數為:

S σ x , g , α = Σ i = 1 N σ x , g , i S σ x , g , i , α φ g , i Σ i = 1 N σ x , g , i φ g , i + Σ i = 1 N V Ω Γ x , g , i * ( Q g , i S Q g , i , α - α L α φ g , i ) d Ω d V ]]>公式(34)

其中為廣義子群共軛方程的解,廣義子群共軛方程為:

L g * Γ g * = Q g * ]]>公式(35)

式中:

——Lg的共軛算子;

——子群廣義共軛通量;

——子群廣義共軛源。

其中

Q g , i * = σ x , g , i Σ i = 1 N V Ω σ x , g , i φ g , i d Ω d V - 1 Σ i = 1 N V Ω φ g , i d Ω d V ]]>公式(36)

式中

——第i個子群的源項;

σx,g,i——第i個子群截面。

注意到式(34)中存在子群參數靈敏度系數,考慮在上面采用帕德
近似方法求解子群參數的過程中,采用直接擾動方法求解子群參數靈
敏度系數。對于各共振核素,逐群擾動其連續能量截面(體現為擾動
其共振積分表),設擾動百分比為δ,則根據差商代替微分的方法求得
子群參數的靈敏度系數,即

公式(37)

式中為未擾動的子群參數(子群截面σx,g,i或子群概率pg,i),和
分別為正向和負向擾動α時的子群參數;δ為α的擾動百分比。

此外,式(34)中存在源項Qg對α的靈敏度系數,這一項的求解同
樣采用廣義微擾理論。本發明采用的子群共振自屏方法中,源項分成
快群散射源項Qf,g和上游共振能群散射源項Qr,g,分別為:

Q f , g = Σ g G f a s t Ω Σ s , g g φ g ( r , Ω ) d Ω ]]>公式(38)

Q r , g = Σ g < g Σ s , g g Σ i = 1 N Ω φ g , i ( r , Ω ) d Ω ]]>公式(39)

對于共振能群g,分別對上述兩種源建立廣義共軛方程:

L g , g * Ψ g , g * = Σ s , g g ]]>公式(40)

式中:

——快群輸運算子;

——廣義共軛通量;

g’——快群標號;

Σs,g'→g——快群到共振能群的散射截面。

而對于上游共振能群g’,有

L g , i * Ψ i * = Σ s , g g , i ]]>公式(41)

式中:

——子群輸運算子的共軛算子;

——廣義共軛通量;

g’——上游共振能群標號;

i——第g’群的子群標號;

Σs,g'→g,i——上游共振能群g’到當前共振能群g的第i個子群的散射
截面。

采用輸運求解器求解方程式(40)和(41),得到對應的廣義共軛通
量。由下式可以求得源項的靈敏度系數

S Q g , α = α Q g < Σ s α φ > + α Q g < Ψ * , Q α - L α φ > ]]>公式(42)

式中:

Qg——快群散射源項或上游共振能群散射源項;

Σs——快群或上游共振能群到當前共振能群的散射截面;

Q'——求解源項的輸運方程的右端源項。

步驟4:針對反應堆物理柵格計算的重要參數,根據步驟1建立
的方法獲取與之對應的廣義(共軛)方程,利用步驟2的輸運求解器,
求解獲取通量、廣義共軛通量以及廣義通量。從而得到各重要參數的
顯式靈敏度系數。

設某重要參數為R,可以表示成通量或者共軛通量的線性泛函,
設為:

R Φ * ( ξ ) H 1 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ Φ * ( ξ ) H 2 [ Σ ( ξ ) ] Φ ( ξ ) d ξ ]]>公式(43)

注意這里R具有一般性,只要是能表示成上述形式的重要參數,
都可以用本發明的方法進行靈敏度系數的求解。

建立對應的廣義共軛源項:

Q 1 = d R / d Φ R = H 1 * Φ * < Φ * H 1 Φ > - H 2 * Φ * < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(44)

Q 2 = d R / * R = H 1 Φ < Φ * H 1 Φ > - H 2 Φ < Φ * H 2 Φ > ]]>公式(45)

利用步驟2開發的輸運求解器分別求解:

M*Γ*=Q1公式(46)

MΓ=Q2公式(47)

獲取通量、廣義共軛通量以及廣義通量后,顯式靈敏度系數可由
下式計算得到:

S R , α exp = d R / R d α / α = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) + < Γ * , M d Φ d α > + < Γ , M * * d α > } = α { ( < Φ * dH 1 d α Φ > < Φ * H 1 Φ > - < Φ * dH 2 d α Φ > < Φ * H 2 Φ > ) - < Γ * , d M d α Φ > - < Γ , dM * d α Φ * > } ]]>公式(48)

步驟5:根據第3步得到的共振自屏截面的靈敏度系數和第4步
得到的顯式靈敏度系數,計算出考慮了隱式影響的靈敏度系數。

S R , α t o t = S R , α exp + S R , α i m p = S R , α exp + Σ g Σ z , x , j S R , σ z , x , g ( j ) exp S σ z , x , g ( j ) , α ]]>公式(49)

其中j表示共振核素。

如圖4所示,給出了典型壓水堆柵元問題的一些核素的特征值顯
式和隱式靈敏度系數比較。傳統方法只能得到顯式靈敏度系數而往往
忽略隱式靈敏度系數,本發明能夠計算隱式靈敏度系數,從圖中可以
看出,某些核素的隱式靈敏度系數相對顯式靈敏度系數很大,如果忽
略會造成很大的誤差。所以考慮隱式靈敏度系數是必要的。

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