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一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模方法及裝置.pdf

摘要
申請專利號:

CN201510419117.8

申請日:

2015.07.16

公開號:

CN104992025A

公開日:

2015.10.21

當前法律狀態:

授權

有效性:

有權

法律詳情: 授權|||實質審查的生效IPC(主分類):G06F 17/50申請日:20150716|||公開
IPC分類號: G06F17/50 主分類號: G06F17/50
申請人: 北京理工大學
發明人: 劉檢華; 林海立; 丁曉宇; 劉少麗; 劉佳順; 馬江濤; 呂乃靜
地址: 100081北京市海淀區中關村南大街5號
優先權:
專利代理機構: 北京銀龍知識產權代理有限公司11243 代理人: 許靜; 安利霞
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法律狀態
申請(專利)號:

CN201510419117.8

授權公告號:

||||||

法律狀態公告日:

2018.04.20|||2015.11.18|||2015.10.21

法律狀態類型:

授權|||實質審查的生效|||公開

摘要

本發明的實施例提供了一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模方法及裝置,其中該建模方法包括:對待建模線纜的中心線進行離散處理,得到多條中心線段;建立待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式;根據第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標,本發明的實施例能真實、穩定、高效地對線纜進行物理建模。

權利要求書

權利要求書
1.  一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模方法,其特征在于,所述建模方法包括:
對待建模線纜的中心線進行離散處理,得到多條中心線段;
建立所述待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式;
根據所述第一函數關系式,確定出所述待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。

2.  如權利要求1所述的建模方法,其特征在于,在所述對待建模線纜的中心線進行離散處理,得到多條中心線段之前,所述建模方法還包括:
獲取所述待建模線纜的長度、截面形狀及尺寸、楊氏模量、切變模量以及用于固定所述待建模線纜的各接頭的安裝位置。

3.  如權利要求2所述的建模方法,其特征在于,所述建立所述待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式,具體包括:
根據所述待建模線纜的長度和各接頭的安裝位置,分別建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式以及每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式;
根據所述第二函數關系式和第三函數關系式,計算得到所述第一函數關系式。

4.  如權利要求3所述的建模方法,其特征在于,所述分別建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式以及每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式,具體包括:
通過公式
Vs[i]=12liks((ri+1-ri)·(ri+1-ri)li-1)2]]>
建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式,其中Vs[i]表示第i條中心線段的拉伸形變的彈性勢能,li表示當所述待建模線纜處于自然狀態時,第i條中心線段的長度,ks表示抗拉剛度,ri+1和ri分別表示在參考坐標系中第i條中心線段的兩個端點的坐標;
通過公式計算得到每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的任一點處的四元數對弧坐標s的微分,其中λ′j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數對弧坐標s的微分,λj+1表示第j+1條中心線段的中點的四元數,λj表示第j條中心線段的中點的四元數,lj表示當所述待建模線纜處于自然狀態時,第j條中心線段和第j+1條中心線段的和的一半;
通過公式計算得到每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的任一點處的四元數,其中表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數;
通過公式
Vb[j]=lj2[kb1(2·(λ0,J‾λ1,j-λ1,J‾λ0,j-λ2,J‾λ3,j+λ3,J‾λ2,j)-u^1,j)2+kb2(2·(λ0,J‾λ2,j+λ1,J‾λ3,j-λ2,J‾λ0,j-λ3,J‾λ1,j)-u^2,j)2+kb3(2·(λ0,J‾λ3,j-λ1,J‾λ2,j+λ2,J‾λ1,j-λ3,J‾λ0,j)-u^3,j)2]]]>
建立每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式,其中Vb[j]表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能,kb1、kb2以及kb3分別表示在三個坐標軸方向上的抗彎和 抗扭剛度,且當所述待建模線纜的截面為圓形時,E表示楊氏模量,G表示切變模量,r表示所述待建模線纜的截面半徑,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第一個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第二個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第三個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第四個參數,λ′0,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第一個參數對弧坐標s的微分,λ′1,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第二個參數對弧坐標s的微分,λ′2,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第三個參數對弧坐標s的微分,λ′3,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第四個參數對弧坐標s的微分,以及分別表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段在三個坐標軸方向上的原始彎扭度。

5.  如權利要求4所述的建模方法,其特征在于,所述根據所述第二函數關系式和第三函數關系式,計算得到所述第一函數關系式,具體為:
通過公式
V1=Σi=1N-1vs[i]+Σj=1N-2vb[j]]]>
計算得到所述第一函數關系式,其中V1表示所述待建模線纜的彈性勢能,i和j均表示中心線段的序號,N表示在對待建模線纜的中心線進行離散處理時的節點數。

6.  如權利要求5所述的建模方法,其特征在于,所述根據所述第一函數關系式,確定出所述待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標,具體包括:
通過罰函數對公式
V1=Σi=1N-1vs[i]+Σj=1N-2vb[j]]]>
的約束條件進行轉換,得到第一罰函數ds和第二罰函數其中Vc和Vn分別表示第一罰函數和第二罰函數,s表示弧坐標,kc和kn均表示罰因子系數,r’表示參考坐標系中的向量r對弧坐標s的微分,d3表示主坐標系中z軸方向的單位矢量,λ表示四元數;
根據所述第一罰函數和第二罰函數,建立所述待建模線纜的罰函數的能量函數;
根據所述罰函數的能量函數和所述第一函數關系式,確定出所述待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。

7.  如權利要求6所述的建模方法,其特征在于,所述根據所述第一罰函數和第二罰函數,計算所述待建模線纜的罰函數的能量函數,具體包括:
根據所述第一罰函數,通過公式Vc[i]=12∫0likc(ri-d3(λi))·(ri-]]>d3(λi))]]>ds計算得到每條中心線段的第一罰函數的能量函數,其中Vc[i]表示第i條中心線段的第一罰函數的能量,r’i表示參考坐標系中第i條中心線段的向量r對弧坐標s的微分,d3(λi)表示用第i條中心線段的四元數表達主坐標系中z軸方向的單位矢量;
根據所述第二罰函數,通過公式計算得到每條中心線段的第二罰函數的能量函數,其中Vn[i]表示第i條中心線段的第二罰函數的能量,λi表示第i條中心線段的四元數;
根據公式
V2=Σi=1N-1vc[i]+Σi=1N-1vn[i]]]>
計算得到所述待建模線纜的罰函數的能量函數,其中V2表示所述待建模線 纜的罰函數的能量。

8.  如權利要求6所述的建模方法,其特征在于,所述根據所述罰函數的能量函數和所述第一函數關系式,確定出所述待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標,具體包括:
計算出所述罰函數的能量函數和所述第一函數關系式的和值;
通過非線性最小二乘法,計算出所述和值的最小值;
根據所述最小值,確定出所述待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。

9.  一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模裝置,其特征在于,所述建模裝置包括:
第一獲取模塊,用于對待建模線纜的中心線進行離散處理,得到多條中心線段;
第一確定模塊,用于建立所述待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式;
第二確定模塊,用于根據所述第一函數關系式,確定出所述待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。

10.  如權利要求9所述的建模裝置,其特征在于,所述建模裝置還包括:
第二獲取模塊,用于獲取所述待建模線纜的長度、截面形狀及尺寸、楊氏模量、切變模量以及用于固定所述待建模線纜的各接頭的安裝位置。

說明書

說明書一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模方法及裝置
技術領域
本發明涉及機械工程領域,特別涉及一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模方法及裝置。
背景技術
作為能量和信號的傳輸通道,線纜在機電產品中應用廣泛,而線纜的布局和敷設安裝質量直接影響機電產品的質量及可靠性。近年來,在虛擬環境中進行線纜布局設計與敷設過程仿真逐漸成為國內外的研究熱點。
柔性線纜的模型表達是進行虛擬環境下線纜敷設過程仿真的基礎,該模型不僅要能支持電纜的幾何和拓撲特性,還要能支持線纜的物理特性表達,并滿足虛擬現實系統特有的實時性要求。與布料和人體組織等柔性體不同,線纜最大的特點在于其長度通常遠大于直徑,工程中通常以線纜的中心線為掃描路徑,以一定的截面信息掃描來形成線纜的三維模型,因此中心線的確定是線纜建模的關鍵,最早提出的方法有采用折線段,或自由曲線如貝塞爾曲線等表示線纜的中心線,但這些方法屬于線纜的幾何建模,沒有考慮線纜的物理屬性,進行線纜敷設過程仿真時缺乏真實性。
由于柔性物體的形狀不像剛體那樣固定不變,而是隨著外界條件的不同發生改變,因此建模難度很大。線纜物理建模是典型的柔性體的物理建模,由于線纜敷設過程中,線纜整體的運動與機器人機械臂的運動具有相似性,基于該思想,魏發遠等提出了一種基于蛇形機器人的線纜建模與敷設仿真方法,將來源于機器人理論的逆運動學方法應用于線纜建模中。德國Hergenrother等開發的虛擬裝配系統中采用了類似的模型,通過一系列相連接的剛性桿表示線纜,每個連接處稱為關節,在關節處加入扭簧和質點以考慮抗彎剛度和重力這兩個物理屬性,當線纜端部移動到某一位置時,采用能量優化法和逆運動學方法,求解出每一關節所應有的變量并且系統具有的能量最小。以上建模方法能夠體 現線纜在敷設仿真過程中“長度不變”的性質,但考慮的線纜物理參數較少,真實性不足。
又由于線纜在敷設過程中的局部應變很小,基本保持在材料的彈性范圍內,因此有學者將其本構關系抽象為彈性關系,并用彈性桿模型進行線纜物理建模。彈性細桿靜力學理論是Kirchhoff在1859年建立的,工程中繩索、鉆桿、纖維等都曾將彈性細桿作為其力學模型。劉檢華等提出的以Kirchhoff彈性細桿非線性力學理論為基礎的虛擬環境下活動線纜建模與運動仿真方法,對活動線纜的仿真取得了較好效果,但該方法需要求解微分方程組的邊界值問題,并利用“打靶法”在已知兩端的位置和朝向基礎上對線纜的整體外形進行求解,其存在問題是求解所需要的初值往往難以給定,而且求解時間所需較長,無法滿足線纜敷設過程仿真的實時性需求。
科瑟拉理論作為Kirechhoff理論的改進,考慮了彈性桿的軸向線應變和彎曲剪應變等物理參數,建立更精確的平衡方程。科瑟拉理論首先由Pai等用于彈性桿這類細長的可變形結構的建模,該方法同樣通過“打靶法”數值求解微分方程得到桿的靜態外形;由于數值解法在初始條件上難以確定,同時在處理自接觸和與其他物體接觸的問題上也存在困難,之后的方法多關注于模型的離散表達。Jonas Spillmann等提出用于柔性桿動力學模型,該模型以科瑟拉理論為基礎導出桿件的連續能量表達式,通過對桿的離散計算出桿的每個單元具有的能量,進而由拉格朗日方程得到桿的動力學微分方程,數值求解該微分方程得到桿的動態變化。由于動力學模型需要較長時間進入穩定狀態,黃勁等提出了一個穩定快速的優化策略對線纜進行形變模擬,并著重研究了大步長、準靜態模擬過程中的接觸處理這一關鍵問題。MireilleGr′egoire等提出了通用彈簧質點模型表達線纜這類柔性零件的外形,并以科瑟拉理論對其彎曲和扭轉進行建模,通過能量最小化過程求解線纜的平衡狀態,這種方法避免了動力學模型中的振動現象,因此具有較好的穩定性。但該方法采用比例積分控制實現模型的定長約束,引入了約束力變量,通過迭代的方法確定約束力,這使得模型變得復雜也降低了求解效率;四元數標準化約束中,為了避免線纜外形出現“V”形的異常形變,改變了約束表達式,將四元數的模變為其倒數,這使得雅克比矩陣變得復雜,降低了求解效率;在優化問題求解中級聯使用了多種優化方法 以保證算法收斂,但初值的選擇仍對求解效率和算法收斂性影響較大。
綜上所述,目前不能真實、穩定、高效地對線纜進行物理建模。
發明內容
本發明實施例的目的在于提供一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模方法及裝置,能真實、穩定、高效地對線纜進行物理建模。
為了達到上述目的,本發明的實施例提供了一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模方法,該建模方法包括:
對待建模線纜的中心線進行離散處理,得到多條中心線段;
建立待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式;
根據第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。
其中,在對待建模線纜的中心線進行離散處理,得到多條中心線段之前,建模方法還包括:
獲取待建模線纜的長度、截面形狀及尺寸、楊氏模量、切變模量以及用于固定待建模線纜的各接頭的安裝位置。
其中,建立待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式,具體包括:
根據待建模線纜的長度和各接頭的安裝位置,分別建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式以及每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式;
根據第二函數關系式和第三函數關系式,計算得到第一函數關系式。
其中,分別建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式以及每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式,具體包括:
通過公式
Vs[i]=12liks((ri+1-ri)·(ri+1-ri)li-1)2]]>
建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式,其中Vs[i]表示第i條中心線段的拉伸形變的彈性勢能,li表示當待建模線纜處于自然狀態時,第i條中心線段的長度,ks表示抗拉剛度,ri+1和ri分別表示在參考坐標系中第i條中心線段的兩個端點的坐標;
通過公式計算得到每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的任一點處的四元數對弧坐標s的微分,其中λ′j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數對弧坐標s的微分,λj+1表示第j+1條中心線段的中點的四元數,λj表示第j條中心線段的中點的四元數,lj表示當待建模線纜處于自然狀態時,第j條中心線段和第j+1條中心線段的和的一半;
通過公式計算得到每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的任一點處的四元數,其中表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數;
通過公式
Vb[j]=lj2[kb1(2·(λ0,j‾λ1,j-λ1,j‾λ0,j-λ2,j‾λ3,j+λ3,j‾λ2,j)-u^1,j)2+kb2(2·(λ0,j‾λ2,j+λ1,j‾λ3,j-λ2,j‾λ0,j-λ3,j‾λ1,j)-u^2,j)2+kb3(2·(λ0,j‾λ3,j-λ1,j‾λ2,j-λ2,j‾λ1,j-λ3,j‾λ0,j)-u^3,j)2]]]>
建立每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式,其中Vb[j]表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能,kb1、kb2以及kb3分別表示在三個坐標軸方向上的抗彎和 抗扭剛度,且當待建模線纜的截面為圓形時,E表示楊氏模量,G表示切變模量,r表示待建模線纜的截面半徑,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第一個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第二個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第三個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第四個參數,λ′0,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第一個參數對弧坐標s的微分,λ′1,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第二個參數對弧坐標s的微分,λ′2,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第三個參數對弧坐標s的微分,λ′3,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第四個參數對弧坐標s的微分,以及分別表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段在三個坐標軸方向上的原始彎扭度。
其中,根據第二函數關系式和第三函數關系式,計算得到第一函數關系式,具體為:
通過公式
V1=Σi=1N-1Vs[i]+Σj=1N-2Vb[j]]]>
計算得到第一函數關系式,其中V1表示待建模線纜的彈性勢能,i和j均表示中心線段的序號,N表示在對待建模線纜的中心線進行離散處理時的節點數。
其中,根據第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標,具體包括:
通過罰函數對公式
V1=Σi=1N-1Vs[i]+Σj=1N-2Vb[j]]]>
的約束條件進行轉換,得到第一罰函數ds和第二罰函數其中Vc和Vn分別表示第一罰函數和第二罰函數,s表示弧坐標,kc和kn均表示罰因子系數,r’表示參考坐標系中的向量r對弧坐標s的微分,d3表示主坐標系中z軸方向的單位矢量,λ表示四元數;
根據第一罰函數和第二罰函數,建立待建模線纜的罰函數的能量函數;
根據罰函數的能量函數和第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。
其中,根據第一罰函數和第二罰函數,計算待建模線纜的罰函數的能量函數,具體包括:
根據第一罰函數,通過公式Vc[i]=12∫0likc(r,i-d3(λi))·(r,i-]]>d3(λi))]]>ds計算得到每條中心線段的第一罰函數的能量函數,其中Vc[i]表示第i條中心線段的第一罰函數的能量,r’i表示參考坐標系中第i條中心線段的向量r對弧坐標s的微分,d3(λi)表示用第i條中心線段的四元數表達主坐標系中z軸方向的單位矢量;
根據第二罰函數,通過公式計算得到每條中心線段的第二罰函數的能量函數,其中Vn[i]表示第i條中心線段的第二罰函數的能量,λi表示第i條中心線段的四元數;
根據公式
V2=Σi=1N-1Vc[i]+Σi=1N-1Vn[i]]]>
計算得到待建模線纜的罰函數的能量函數,其中V2表示待建模線纜的罰函數的能量。
其中,根據罰函數的能量函數和第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標,具體包括:
計算出罰函數的能量函數和彈性勢能的和值;
通過非線性最小二乘法,計算出和值的最小值;
根據最小值,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。
本發明的實施例還提供了一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模裝置,該建模裝置包括:
第一獲取模塊,用于對待建模線纜的中心線進行離散處理,得到多條中心線段;
第一確定模塊,用于建立待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式;
第二確定模塊,用于根據第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。
其中,建模裝置還包括:
第二獲取模塊,用于獲取待建模線纜的長度、截面形狀及尺寸、楊氏模量、切變模量以及用于固定待建模線纜的各接頭的安裝位置。
本發明的上述方案至少包括以下有益效果:
在本發明的實施例中,通過對待建模線纜的中心線進行離散處理,得到多條中心線段,并建立待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式,進而根據第一函數關系式,確定出當待建模線纜處于最小彈性勢能狀態下時,待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標,解決了不能真實、穩定、高效地對線纜進行物理建模的問題,達到了真實、穩定、高效地對線纜進行物理建模的效果。
附圖說明
圖1為本發明第一實施例中基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模方法的流程圖;
圖2為本發明第一實施例中彈性桿坐標系的示意圖;
圖3為本發明第一實施例中Frenet坐標系的示意圖;
圖4為本發明第一實施例中求解時間與離散點數目的關系圖;
圖5為本發明第二實施例中基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模裝置的結構示意圖。
具體實施方式
下面將參照附圖更詳細地描述本公開的示例性實施例。雖然附圖中顯示了本公開的示例性實施例,然而應當理解,可以以各種形式實現本公開而不應被這里闡述的實施例所限制。相反,提供這些實施例是為了能夠更透徹地理解本公開,并且能夠將本公開的范圍完整的傳達給本領域的技術人員。
第一實施例
如圖1所示,本發明的第一實施例提供了一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模方法,該建模方法包括:
步驟S11,對中心線進行離散處理,得到多條中心線段;
在本發明的第一實施例中,對中心線進行離散處理的方式可以為:從中心線上取N個節點,即將中心線分成N-1條中心線段,其中N可以根據實際需要進行取值。且此時待建模線纜的狀態參數(包括每條中心線段兩端點的坐標和每條中心線段中點的四元數)是已知的。
步驟S12,建立待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式;
在本發明的第一實施例中,可以基于科瑟拉彈性桿理論,根據每條中心線段的中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標,建立待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式,具體的建立過程會在后文詳細闡述。
步驟S13,根據第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。
在本發明的第一實施例中,可通過對獲取到的待建模線纜的中心線進行離散處理后,得到多條(例如N-1)中心線段,然后再根據每條中心線段的中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標,建立待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式,最后根 據該第一函數關系式,確定出當待建模線纜處于最小彈性勢能狀態下時,待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標,從而真實、穩定、高效地對待建模線纜進行物理建模。
其中,在本發明的第一實施例中,在執行步驟S12之前,上述建模方法還包括:獲取待建模線纜的長度、截面形狀及尺寸(當截面為圓形時,對應的尺寸為圓形的半徑)、楊氏模量(包括拉伸變形中的楊氏模量和彎曲變形時的楊氏模量)、切變模量以及用于固定待建模線纜的各接頭的安裝位置。以便后續計算第一函數關系式。
其中,在本發明的第一實施例中,上述步驟S12具體包括:首先根據待建模線纜的長度和各接頭的安裝位置,分別建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式以及每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式;然后再根據第二函數關系式和第三函數關系式,計算得到第一函數關系式。
在本發明的第一實施例中,在詳細闡述建立第一函數關系式之前,先簡單闡述一下科瑟拉彈性桿理論。
在科瑟拉彈性桿理論中,彈性桿(例如上述線纜)為細長的可變形體,它可以呈現出彎曲、扭轉等復雜的形態。彈性桿截面的幾何中心連成空間曲線C稱為彈性桿的中心線,在剛性截面假定基礎上,彈性桿的幾何形態由截面沿中心線的移動和轉動所體現的,因此可以通過彈性桿中心線構建出彈性桿的外形。
為了方便描述彈性桿的空間姿態,如圖2~圖3所示,在此建立多個坐標系(即參考坐標系、Frenet坐標系以及主軸坐標系)。對于彈性桿的中心線C,以曲線上的一固定點Pn為原點建立弧坐標系s,以空間中一固定點O建立參考坐標系(O-ξηζ),O點到空間中一點的向量為r。在曲線上任意一點P可定義一個依附于曲線的右手坐標系(P-NBT)稱為Frenet坐標系。其中T為該點處切線方向上的單位矢量,N為該點處的法線方向上的單位矢量,矢量B由B=T×N得到。
由于彈性桿的幾何形態由截面沿中心線的移動和轉動所體現,因此在截面中心點P建立與剛性截面相固連的主軸坐標系(P-xyz),各坐標軸的單位矢量稱 為基矢量為d1、d2、d3,其中z軸與P點處的切線軸T重合,即d3=T。主軸坐標系x軸與Frenet坐標系的N軸的夾角為θ,夾角θ為截面扭轉變形的體現。
在此采用四元數表示旋轉,主軸坐標系的姿態通過參考坐標系的旋轉量表示。主軸坐標系基矢量為d1、d2、d3,參考坐標系基矢量為d10、d20、d30,即四元數λ=(λ0λ1λ2λ3)T表示的旋轉矩陣為
R=2(λ02+λ12)-12(λ1λ2-λ0λ3)2(λ1λ3-λ0λ2)2(λ2λ1-λ0λ3)2(λ02+λ22)-12(λ2λ3-λ0λ1)2(λ3λ1-λ0λ2)2(λ3λ2-λ0λ1)2(λ02+λ32)-1]]>
其中四元數滿足約束并且四元數參數λk(0≤k≤3)都為實數。
矢量d10、d20、d30經過轉動得到主軸的坐標系的基矢量為
d1=2(λ02+λ12)-12(λ2λ1+λ0λ3)2(λ3λ1-λ0λ2),d2=2(λ1λ2-λ0λ3)2(λ02+λ22)-12(λ3λ2+λ0λ1),d32(λ1λ3+λ0λ2)2(λ2λ3-λ0λ1)2(λ02+λ32)-1]]>
此外,彈性桿的彎曲、扭轉變形的劇烈程度通過彎扭度矢量u表示,中心線上任意一點P處的彎扭度是該點處主軸坐標系的角位移對弧坐標s的變化率。與角速度的概念類似,不同的是角速度是角位移相對于時間t的變化率。彎扭度等價于動點P沿著中心線沿弧坐標正向以單位速度做勻速運動時主軸坐標系的角速度。
在計算中使用四元數對彎扭度矢量進行表達,其中四元數與旋轉的角速度矢量的關系為
0ω1ω2ω3=2ΛTλ·0λ·1λ·2λ·3]]>
其中ω是角度速度矢量在主軸坐標系中的表達,為四元數λ的共軛四元數,為四元數λ對時間t的微分。為了便于進行四元數運算,用矩陣相乘代替四元數相乘,其中矩陣
Λ=λ0-λ1-λ2-λ3λ1λ0-λ3λ2λ2λ3λ0-λ1λ3-λ2λ1λ0]]>
計算得到在主軸坐標系中角速度矢量的各個分量為
ω1ω2ω3=2λ0λ·1-λ1λ·0-λ2λ·3+λ3λ·2λ0λ·2+λ1λ·3-λ2λ·0-λ3λ·1λ0λ·3-λ1λ·2+λ2λ·1-λ3λ·0]]>
由于彎扭度矢量與角速度都是角位移的變化率,將
ω1ω2ω3=2λ0λ·1-λ1λ·0-λ2λ·3+λ3λ·2λ0λ·2+λ1λ·3-λ2λ·0-λ3λ·1λ0λ·3-λ1λ·2+λ2λ·1-λ3λ·0]]>
中對時間變量t的微分改寫為對弧坐標s的微分,可以得到彎扭度矢量u在主軸坐標系中的表達
u1u2u3=2λ0λ1-λ1λ0-λ2λ3+λ3λ2λ0λ2+λ1λ3-λ2λ0-λ3λ1λ0λ3-λ1λ2+λ2λ1-λ3λ0]]>
其中uk(1≤k≤3)為彎扭度矢量的分量,為四元數分量λk對弧坐標s的微分。
由于處于平衡狀態的曲桿只具有彈性勢能,所以無需考慮運動過程中的動能以及耗散能。彈性勢能包括拉伸形變具有的彈性勢能(Vs)和彎曲、扭轉形變具有的彈性勢能(Vb)。并通過彈性桿的科瑟拉理論中彈性勢能表達,得到Vs的表達式為
Vs=12∫0Lks(||dr(s)ds||-1)2ds]]>
其中,ks表示抗拉剛度,它與拉伸楊氏模量Es有關,通過式子ks=Esπr2計算得到,r表示截面半徑,L表示曲桿的長度,s表示弧坐標,r(s)為用弧坐標s表示的參考坐標系中的向量。
Vh的表達式為
Vb=12∫0LΣk=13kbk(uk-u^k)2ds]]>
其中uk為曲桿的彎扭度,且當曲桿在松弛狀態下時uk(1≤k≤3)都為0,與曲桿的初始彎曲和扭轉變形有關,當都為零時為無扭轉的直桿。kbk為抗彎和抗扭剛度。在截面的均勻假設下,圓形截面的抗彎抗扭剛度為
kb1=kb2=Eπr44,kb3=Gπr44]]>
其中E為彎曲變形中的楊氏模量,G為扭轉變形時的切變模量,r為截面半徑。對于理想桿,拉伸變形中的楊氏模量Es等于彎曲變形時的楊氏模量E,由于實際線纜中存在多條線纜組成的線束,其截面并不均勻而且存在空隙,在實際測量中線纜拉伸時的楊氏模量Es相比于彎曲時的楊氏模量E大。
由于中心線上任意一點處的切線方向與該點處主軸坐標系的基矢量d3的方向相同,所以存在方向一致約束
dr(s)ds=d3(λ)]]>
對于四元數λ,只有當它的模等于一時,才能表示一個純轉動,因此存在四元數的標準化約束||λ||=1。
其中,在本發明的第一實施例中,分別建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式以及每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式,具體包括:首先通過公式計算每一條中心線段的任一點處的空間向量對弧坐標s的微分,其中r1′表示第i條中心線段的空間向量對弧坐標s的微分,ri(s)為第i條中心線段用弧坐標s表示的參考坐標系中的向量,ri+1和ri分別表示在參考坐標系中第i條中心線段的兩個端點的坐標,li表示當待建模線纜處于自然 狀態時,第i條中心線段的長度。然后將該表達式代入上述Vs的表達式中,得到公式
Vs[i]=12liks((ri+1-ri)·(ri+1-ri)li-1)2]]>
并通過公式
Vs[i]=12liks((ri+1-ri)·(ri+1-ri)li-1)2]]>
建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式,其中Vs[i]表示第i條中心線段的拉伸形變的彈性勢能,li表示當待建模線纜處于自然狀態時,第i條中心線段的長度,ks表示抗拉剛度,ri+1和ri分別表示在參考坐標系中第i條中心線段的兩個端點的坐標。
同時通過公式λj=j(s)ds=λj+1-λj12(||rj+2-rj+1||+||rj+1-rj||)≈λj+1-λjlj]]>計算得到每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的任一點處四元數對弧坐標s的微分,其中,λj(s)為用弧坐標s表示的第i條中心線段的四元數,λ′j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數對弧坐標s的微分,λj+1表示第j+1條中心線段的中點的四元數,λj表示第j條中心線段的中點的四元數,lj表示當待建模線纜處于自然狀態時,第j條中心線段和第j+1條中心線段的和的一半。同時通過公式計算得到每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的任一點處的四元數,其中表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數;然后再用四元數代替上述Vb的表達式是中的uk,得到公式
Vb[j]=lj2[kb1(2·(λ0,j‾λ1,j-λ1,j‾λ0,j-λ2,j‾λ3,j+λ3,j‾λ2,j)-u^1,j)2+kb2(2·(λ0,j‾λ2,j+λ1,j‾λ3,j-λ2,j‾λ0,j-λ3,j‾λ1,j)-u^2,j)2+kb3(2·(λ0,j‾λ3,j-λ1,j‾λ2,j-λ2,j‾λ1,j-λ3,j‾λ0,j)-u^3,j)2]]]>
并通過該公式建立每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式,其中Vb[j]表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能,kb1、kb2以及kb3分別表示在三個坐標軸方向上的抗彎和抗扭剛度,且當待建模線纜的截面為圓形時,E表示楊氏模量(具體為彎曲變形中的楊氏模量),G表示切變模量,r表示待建模線纜的截面半徑,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第一個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第二個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第三個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第四個參數,λ′b,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第一個參數對弧坐標s的微分,λ′1,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第二個參數對弧坐標s的微分,λ′2,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第三個參數對弧坐標s的微分,λ′3,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第四個參數對弧坐標s的微分,以及分別表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段在三個坐標軸方向上的原始彎扭度。
其中,在本發明的第一實施例中,可以進一步根據Vs[i]和Vb[j],通過公式
V1=Σi=1N-1Vs[i]+Σj=1N-2Vb[j]]]>
計算得到第一函數關系式,其中V1表示待建模線纜的彈性勢能,i和j均表示中心線段的序號,N表示在對待建模線纜的中心線進行離散處理時的節點數。
其中,在本發明的第一實施例中,上述步驟S13具體包括:首先基于科瑟拉彈性桿理論的約束條件(即方向一致約束和四元數的標準化約束),通過罰函數對
V1=Σi=1N-1Vs[i]+Σj=1N-2Vb[j]]]>
的約束條件進行轉換,得到第一罰函數ds和第二罰函數其中Vc和Vn分別表示第一罰函數和第二罰函數,s表示弧坐標,kc和kn均表示罰因子系數,r’表示參考坐標系中的向量r對弧坐標s的微分,d3表示主坐標系中z軸方向的單位矢量,λ表示四元數;然后再根據第一罰函數和第二罰函數,計算待建模線纜的罰函數的能量函數;最后再根據罰函數的能量函數和第一函數關系式,確定出當待建模線纜處于最小彈性勢能狀態下時,待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。
其中,根據第一罰函數和第二罰函數,建立待建模線纜的罰函數的能量函數的步驟具體包括:根據第一罰函數,通過公式ds計算得到每條中心線段的第一罰函數的能量函數,其中Vc[i]表示第i條中心線段的第一罰函數的能量,r’i表示參考坐標系中第i條中心線段的向量r對弧坐標s的微分,d3(λi)表示用第i條中心線段的四元數表達主坐標系中z軸方向的單位矢量;同時根據第二罰函數,通過公式計算得到每條中心線段的第二罰函數的能量函數,其中Vn[i]表示第i條中心線段的第二罰函數的能量,λi表示第i條中心線段的四元數;最后再根據公式
V2=Σi=1N-1Vc[i]+Σi=1N-1Vn[i]]]>
計算得到待建模線纜的罰函數的能量函數,其中V2表示待建模線纜的罰函數的能量。
其中,在本發明的第一實施例中,上述根據罰函數的能量函數和第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標的步驟具體包括:首先通過公式V總=V1+V2計算出罰函數的能量函數和彈性勢能的和值,其中V總表示總能量,即上述和值;然后通過非線性最小二乘法(即高斯-牛頓法),計算出和值的最小值;最后根據最小值,確定出當和值取最小值時待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標,并根據確定出的每條中心線段的端點的坐標確定出待建模線纜的中心線。其中通過非線性最小二乘法,計算出和值的最小值的方法對于本領域的技術人員而言屬于公知常識,在此不再贅述。
其中,在本發明的第一實施例中,非線性最小二乘法對線纜能量函數最小值的求解具有較高的效率及穩定性。如圖4所示的求解時間與離散點數目的關系圖,求解時間與離散點數目呈線性關系,一般情況下采用30至50離散點對線纜中心線進行離散處理,其精度已經能夠滿足大部分應用的要求,其求解時間平均15至18毫秒,因此滿足了實時性要求,同時確保了建模的真實性。
第二實施例
如圖5所示,本發明的第二實施例提供了一種基于科瑟拉彈性桿模型的線纜的建模裝置,該建模裝置包括:
第一獲取模塊51,用于對待建模線纜的中心線進行離散處理,得到多條中心線段;
第一確定模塊52,用于建立待建模線纜的彈性勢能與每條中心線段中點的四元數和每條中心線段的端點的坐標的第一函數關系式;
第二確定模塊53,用于根據第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。
其中,建模裝置還包括:
第二獲取模塊,用于獲取待建模線纜的長度、截面形狀及尺寸、楊氏模量、切變模量以及用于固定待建模線纜的各接頭的安裝位置。
其中,第一確定模塊52包括:
第一計算單元,用于根據待建模線纜的長度和各接頭的安裝位置,分別建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式以及每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式;
第二計算單元,用于根據第二函數關系式和第三函數關系式,計算得到第一函數關系式。
其中,第一計算單元包括:
第一計算子單元,用于通過公式
Vs[i]=12liks((ri+1-ri)·(ri+1-ri)li-1)2]]>
建立每條中心線段的拉伸形變的彈性勢能與每條中心線段的端點的坐標的第二函數關系式,其中Vs[i]表示第i條中心線段的拉伸形變的彈性勢能,li表示當待建模線纜處于自然狀態時,第i條中心線段的長度,ks表示抗拉剛度,ri+1和ri分別表示在參考坐標系中第i條中心線段的兩個端點的坐標;
第二計算子單元,用于通過公式計算得到每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的任一點處的四元數對弧坐標s的微分,其中λ′j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數對弧坐標s的微分,λj+1表示第j+1條中心線段的中點的四元數,λj表示第j條中心線段的中點的四元數,lj表示當待建模線纜處于自然狀態時,第j條中心線段和第j+1條中心線段的和的一半;
第三計算子單元,用于通過公式計算得到每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的任一點處的四元數,其中表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數;
第四計算子單元,用于通過公式
Vb[j]=lj2[kb1(2·(λ0,j‾λ1,j-λ1,j‾λ0,j-λ2,j‾λ3,j+λ3,j‾λ2,j)-u^1,j)2+kb2(2·(λ0,j‾λ2,j+λ1,j‾λ3,j-λ2,j‾λ0,j-λ3,j‾λ1,j)-u^2,j)2+kb3(2·(λ0,j‾λ3,j-λ1,j‾λ2,j-λ2,j‾λ1,j-λ3,j‾λ0,j)-u^3,j)2]]]>
建立每相鄰兩條中心線段的兩個中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能與每條中心線段的中點的四元數的第三函數關系式,其中Vb[j]表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的彎曲及扭轉變形的彈性勢能,kb1、kb2以及kb3分別表示在三個坐標軸方向上的抗彎和抗扭剛度,且當待建模線纜的截面為圓形時,E表示楊氏模量,G表示切變模量,r表示待建模線纜的截面半徑,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第一個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第二個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第三個參數,表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的任一點處的四元數的第四個參數,λ′0,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第一個參數對弧坐標s的微分,λ′1,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第二個參數對弧坐標s的微分,λ′2,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第三個參數對弧坐標s的微分,λ′3,j表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段的四元數的第四個參數對弧坐標s的微分,以及分別表示第j+1條中心線段的中點與第j條中心線段的中點之間的中心線段在三個坐標軸方向上的原始彎扭度。
其中,第二計算單元包括:
第五計算子單元,用于通過公式
V1=Σi=1N-1Vs[i]+Σj=1N-2Vb[j]]]>
計算得到第一函數關系式,其中V1表示待建模線纜的彈性勢能,i和j均表示中心線段的序號,N表示在對待建模線纜的中心線進行離散處理時的節點數。
其中,第二確定模塊53包括:
第三計算單元,用于通過罰函數對公式
V1=Σi=1N-1Vs[i]+Σj=1N-2Vb[j]]]>
的約束條件進行轉換,得到第一罰函數ds和第二罰函數其中Vc和Vn分別表示第一罰函數和第二罰函數,s表示弧坐標,kc和kn均表示罰因子系數,r’表示參考坐標系中的向量r對弧坐標s的微分,d3表示主坐標系中z軸方向的單位矢量,λ表示四元數;
第四計算單元,用于根據第一罰函數和第二罰函數,建立待建模線纜的罰函數的能量函數;
確定單元,用于根據罰函數的能量函數和第一函數關系式,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。
其中,第四計算單元包括:
第六計算子單元,用于根據第一罰函數,通過公式計算得到每條中心線段的第一罰函數的能量函數,其中Vc[i]表示第i條中心線段的第一罰函數的能量,r’i表示參考坐標系中第i條中心線段的向量r對弧坐標s的微分,d3(λi)表示用第i條中心線段的四元數表達主坐標系中z軸方向的單位矢量;
第七計算子單元,用于根據第二罰函數,通過公式計算得到每條中心線段的第二罰函數的能量函數,其中Vn[i]表示第i條中心線段的第二罰函數的能量,λi表示第i條中心線段的四元數;
第八計算子單元,用于根據公式
V2=Σi=1N-1Vc[i]+Σi=1N-1Vn[i]]]>
計算得到待建模線纜的罰函數的能量函數,其中V2表示待建模線纜的罰函數的能量。
其中,確定單元包括:
第九計算子單元,用于計算出罰函數的能量函數和第一函數關系式的和值;
第十計算子單元,用于通過非線性最小二乘法,計算出和值的最小值;
確定子單元,用于根據最小值,確定出待建模線纜的每條中心線段的端點的坐標。
需要說明的是,本發明實施例提供的線纜的建模裝置是應用上述建模方法的裝置,即上述建模方法的所有實施例均適用于該裝置,且均能達到相同或相似的有益效果。
以上所述是本發明的優選實施方式,應當指出,對于本技術領域的普通技術人員來說,在不脫離本發明所述原理的前提下,還可以作出若干改進和潤飾,這些改進和潤飾也應視為本發明的保護范圍。

關 鍵 詞:
一種 基于 科瑟拉 彈性 模型 線纜 建模 方法 裝置
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