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無條件穩定和有條件穩定混合的時域譜元電磁分析方法.pdf

摘要
申請專利號:

CN201410124434.2

申請日:

2014.03.28

公開號:

CN104951580A

公開日:

2015.09.30

當前法律狀態:

授權

有效性:

有權

法律詳情: 授權|||實質審查的生效 IPC(主分類):G06F 17/50申請日:20140328|||公開
IPC分類號: G06F17/50 主分類號: G06F17/50
申請人: 南京理工大學
發明人: 陳如山; 樊振宏; 丁大志; 許浩; 盛亦軍
地址: 210094江蘇省南京市孝陵衛200號
優先權:
專利代理機構: 南京理工大學專利中心32203 代理人: 朱顯國
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法律狀態
申請(專利)號:

CN201410124434.2

授權公告號:

||||||

法律狀態公告日:

2019.03.29|||2015.11.04|||2015.09.30

法律狀態類型:

授權|||實質審查的生效|||公開

摘要

本發明公開了一種無條件穩定和有條件穩定混合的時域譜元電磁分析方法。在傳統的時域譜元法中,對于復雜的模型,尤其在包含多尺度問題的情況下,用六面體剖分得到的網格大小很不均勻。在后續的時間迭代中,為了保證算法穩定不發散,必須根據最小剖分網格的尺寸來設置時間步長,這樣就會導致整個求解耗費大量時間。本發明提出一種自適應的基于無條件穩定跟有條件穩定混合的時域譜元法,通過自適應的方法自動找出小網格和大網格,在大網格區域使用普通的中心差分格式,在網格很小的區域使用Newmark-β差分格式,因此就得到無條件穩定的迭代格式,所以整體時間步長可以取很大,這樣求解時間就會大大減少。

權利要求書

權利要求書
1.  一種無條件穩定和有條件穩定混合的時域譜元電磁分析方法,其步驟如下: 
第一步,對所要分析的電磁問題進行幾何建模,將整體模型采用曲六面體進行剖分,剖分之后得到各個體單元的頂點編號、坐標以及體的編號; 
第二步,采用比較邊長的方法找出剖分得到的網格中尺寸小于設定值的六面體,將其標記為小尺寸區域,剩余網格標為大尺寸區域; 
第三步,將電場值定義在整體模型剖分后的網格中的每個點上,并用時域譜元法中的GLL多項式作為矢量基函數對電場在XYZ三個方向進行展開,代入時域波動方程,并采用伽遼金測試,即測試基函數與展開基函數相同,得到矩陣方程。 
第四步,將方程中的時間項用時間差分展開,在標記出來的小尺寸的區域采用具有無條件穩定的Newmark-β差分格式,其他區域采用有條件穩定的中心差分格式,在進行時間迭代時整體時間步長按中心差分區域設定,根據總的時間步數每一步直接求解,最終求得時域電場值。 

2.  根據權利要求1所述的自適應無條件/有條件穩定混合時域譜元法電磁分析方法,其特征在于:步驟一中剖分采用的曲六面體單元邊長為1/10λ,λ為電磁波波長。 

3.  根據權利要求1所述的無條件穩定和有條件穩定混合的時域譜元電磁分析方法,其特征在于:步驟三中使用的GLL基函數形式如下: 



其中,j=0,1,LN,LN(ξ)是N階Legendre多項式,將ξ∈[-1,1]內的節點{ξj,j=0,1,LN}作為GLL積分點,它們是方程式 的(N+1)個根; 
將電場用基函數展開,代入到時域波動方程
采用伽遼金法測試,即測試函數與基函數相同,獲得總系數矩陣,求解方程 


4.  根據權利要求1所述的無條件穩定和有條件穩定混合的時域譜元電磁分析方法,其特征在于:步驟四中,在小尺寸的區域采用Newmark-β差分格式后方程為: 
([T]+Δt2β[S])en+1=(2[T]-Δt2(1-2β)[S])en-([T]+Δt2β[S])en-1
在大尺寸區域采用中心差分格式后方程變為: 
[T]en+1=(2[T]-Δt2[S])en-[T]en-1
求解方程,在每一步時間迭代中,先求解中心差分區域處的電場,再求解Newmark-β差分區域的電場,最終得到總的時域電場值。 

說明書

說明書無條件穩定和有條件穩定混合的時域譜元電磁分析方法
技術領域
本發明屬于有條件穩定和無條件穩定混合的時域方法,特別是一種針對多尺度電磁問題的快速分析技術。
背景技術
1864年,麥克斯韋(Maxwell)在前人的研究基礎上,提出了能夠對宏觀電磁場基本歸路進行概括的數學方程組——著名的麥克斯韋方程,由此奠定了電磁學理論研究的基礎。電磁場理論的研究漸漸滲透到地學、生命科學、醫學、材料科學和信息科學等眾多技術科學領域,大大促進了科學技術的發展和人類生活的變化。
早期很長一段時間,電磁場理論的研究致力于得到一些問題的解析解,然而完全用解析方法求解的問題是十分有限的,不能解決什么問題。于是,為了解決科學技術中的電磁場問題,又發展了一些近似方法和數值方法。但是,限于當時的計算條件,無法充分發揮這些方法的作用,令某些問題得不到實質性的解決。隨著電子計算機技術的飛速發展,以高性能計算機技術為手段,結合電磁場理論和計算數學提供的各種數值方法,應運而生了一門交叉學科——計算電磁學。
使用計算電磁學對電磁現象進行分析時,首先根據分析對象的特點建立相應的電磁、數學模型。然后,選擇合適的算法并在計算機上實現。當前計算電磁學方法按解域分可分為頻域方法和時域方法。頻域方法主要有:以電磁場問題的積分方程為基礎的矩量法(MOM)和基于變分原理的有限元法(FEM)等;時域方法主要有:時域有限差分法(FDTD)、時域有限元法(FETD)、時域積分法(TDIE)和時域偽譜方法(PSTD)等。
時域譜元法(Joon-Ho Lee and Qing Huo Liu,“A3-D Spectral-Element Time-Domain Method for Electromagnetic Simulation,”IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques.,vol.55,no.5,pp.983-991,May2007)可認為是一種特殊的時域有限元法,由于時域譜元法采用的差分方式為中心差分,系數矩陣只含有質量矩陣,又由于該方法中所選用的基函數為正交基函數,所以系數矩陣是塊對角的,矩陣求逆會變的很容易,與時域有限元方法比,這將大大減少計算時間。時域譜元法對網格采用的離散方式為曲六面體離散,這能很好地擬合各種復雜的電磁結構,又因為時域譜元法網格離散的尺寸可以很大,與時域有限差分方法相比,這將大大減少計算的未知量。
不連續迦遼金方法(Discontinuous Galerkin,DG)的發展已有了顯著的進展,這些方法適用于具有復雜結構和不均勻煤質的大尺寸問題。這些方法很大程度上得益于80年代上半時有里德和希爾提出的中子傳輸方程的求解。這些方法的最重要的特點是允許基函數(因此,數值解)在不同單元的交界面上不連續。在每個單元上引入一套局部的基函數而不是在整個計算區域,且不同類型的單元例如六面體,棱柱體或者四面體可以在模型中共存,同時可以允許兩邊的方程使用不同的差分格式,這樣計算起來更加靈活方便。
現有的分析多尺度電磁問題的時域譜元法主要存在以下兩個問題:
(1)采用六面體跟四面體混合剖分,但是六面體部分采用時域譜元法,四面體部分采用時域有限元方法,而時域有限元方法生成的質量矩陣為稀疏癥,求逆花費大量時間再加上時間步長設置的很小,所以求解速度較慢。
(2)如果不同區域均采用六面體網格剖分,使用時域譜元法的時候,為保證算法穩定性,時間步長必須按照最小的網格尺寸設定,這樣整體的時間迭代步數就會很多,導致求解時間慢。
發明內容
本發明的目的在于提供一種無條件穩定和有條件穩定混合的時域譜元電磁分析方法,從而快速分析復雜多尺度電磁問題。
實現本發明目的的技術解決方案為:一種無條件穩定和有條件穩定混合的時域譜元電磁分析方法,步驟如下:
第一步,對所要分析的電磁問題進行幾何建模,將整體模型采用曲六面體進行剖分,剖分之后得到各個體單元的頂點編號、坐標以及體的編號;
第二步,采用比較邊長的方法找出剖分得到的網格中尺寸小于設定值的六面體,將其標記為小尺寸區域,剩余網格標為大尺寸區域;
第三步,將電場值定義在整體模型剖分后的網格中的每個點上,并用時域譜元法中的GLL多項式作為矢量基函數對電場在XYZ三個方向進行展開,代入時域波動方程,并采用伽遼金測試,即測試基函數與展開基函數相同,得到矩陣方程。
第四步,將方程中的時間項用時間差分展開,在標記出來的小尺寸的區域采用具有無條件穩定的Newmark-β差分格式,其他區域采用有條件穩定的中心差分格式,在進行時間迭代時整體時間步長按中心差分區域設定,根據總的時間步數每一步直接求解,最 終求得時域電場值。
步驟一中剖分采用的曲六面體單元邊長為1/10λ,λ為電磁波波長。
步驟二中設定值的選取與剖分后得到網格的尺寸有關,既要保證小于此設定值的網格的數目占整體網格數目的比例盡可能小,又要保證大尺寸區域中最小網格的尺寸跟整個區域最小網格的尺寸之比盡可能大。
步驟三中使用的GLL基函數形式如下:
Φrstξ=ξ^φr(Nξ)(ξ)φs(Nη)(η)φt(Nζ)(ζ)]]>
Φrstη=η^φr(Nξ)(ξ)φs(Nη)(η)φt(Nζ)(ζ)]]>
Φrstζ=ζ^φr(Nξ)(ξ)φs(Nη)(η)φt(Nζ)(ζ)]]>
其中,Φj(N)(ξ)=1N(N+1)LN(ξj)(1-ξ2)LN(ξ)ξ-ξj,]]>j=0,1,LN,LN(ξ)是N階Legendre多項式,將ξ∈[-1,1]內的節點{ξj,j=0,1,LN}作為GLL積分點,它們是方程式(1-ξj2)LN(ξj)=0]]>的(N+1)個根;
將電場用基函數展開,代入到時域波動方程
采用伽遼金法測試,即測試函數與基函數相同,獲得總系數矩陣,求解方程
[T]d2edt2+[S]e=0]]>
步驟四中,在小尺寸的區域采用Newmark-β差分格式后方程為:
([T]+Δt2β[S])en+1=(2[T]-Δt2(1-2β)[S])en-([T]+Δt2β[S])en-1
在大尺寸區域采用中心差分格式后方程變為:
[T]en+1=(2[T]-Δt2[S])en-[T]en-1
求解方程,在每一步時間迭代中,先求解中心差分區域處的電場,再求解Newmark-β差分區域的電場,最終得到總的時域電場值。
本發明與現有技術相比,其顯著優點:(1)將模型用曲六面體剖分,可以很好的擬合復雜物體的外形。(2)整體的時間步長不再受最小剖分網格尺寸的限制,可以設置的較大,大大加快求解速度。
附圖說明
圖1是介質圓環諧振腔的結構示意圖。
圖2是本發明方法跟傳統的中心差分法算得的頻譜對比圖。
具體實施方式
本發明基于一種無條件穩定和有條件穩定混合的時域譜元電磁分析方法,步驟如下:
第一步,模型剖分,將模型統一采用曲六面體網格進行剖分。
第二步,自適應找出網格中尺寸小于設定值的六面體,將其標記出來。
第三步,將電場用基函數進行展開,代入矢量波動方程,并采用伽遼金測試。
第四步,求解矩陣方程,將時間項用時間差分展開,在小尺寸的區域采用具有無條件穩定的Newmark-β差分格式,其他區域采用中心差分,先進行Newmark-β區域的求解,再進行中心差分區域的求解。
下面結合附圖對本發明做進一步說明。
第一步,對分析的復雜結構進行建模,得到所需的幾何信息。然后將模型采用曲六面體網格進行剖分,剖分尺寸六面體單元邊長為1/10λ(λ為電磁波波長)。剖分之后得到各個體單元的頂點編號和坐標以及體的編號等。
第二步,設定出一個閾值,自適應找出網格中尺寸小于設定值的六面體,將其標記出來,記為小尺寸網格,剩余的記為大尺寸網格。
第三步,將電場在結點處用GLL基函數進行展開,
在1-D標準參考單元ξ∈[-1,1]中,我們定義N階GLL(Gauss-Lobatto-Legendre,高斯-洛巴托-勒讓德)基函數為:
φj(N)(ξ)=-1N(N+1)LN(ξj)(1-ξ2)LN(ξ)(ξ-ξj)]]>
其中,j=0,1,LN,LN(ξ)是N階勒讓德多項式,LN'(ξ)是它的導數。將ξ∈[-1,1]內的網格點{ξj,j=0,1,LN}作為GLL積分點,它們是方程式的(N+1)個根,基函數滿足φj(ξi)=δij的特性。
求解矢量波動方程
▿×▿×E→=-μϵ∂2E→∂t2]]>
采用伽遼金測試,即測試基函數與展開基函數相同,獲得緊湊格式
[S]e+[T]d2edt2=0]]>
其中,[S]ije=∫∫∫Ve▿×NΓue·▿×NΓjedxdydz]]>
[T]ije=μϵ∫∫∫VeNΓie·NΓjedxdydz]]>
在大尺寸的區域采用中心差分格式
[S]en+[T]en+1-2en+en-1Δt2=0]]>
[T]en+1=(2[T]-Δt2[S])en-[T]en-1,
在小尺寸的區域采用Newmark-β差分格式
[S](βen+2+(1-2β)en+βen-1)+[T]en+1-2en+en-1Δt2=0]]>
([T]+Δt2β[S])en+1=(2[T]-Δt2(1-2β)[S])en-([T]+Δt2β[S])en-1
先進行Newmark-β區域的求解,再進行中心差分區域的求解,最終可得到各點的電場值。
為了驗證本發明方法的有效性,下面分析了一個介質諧振腔的典型算例。
如圖1所示的諧振腔中放有一介電常數9.8的介質環,a1=207.25mm,a2=440.75mm,b=242mm,c=43mm,r1=9.0mm,r2=10.0mm,h=14.0mm,整體采用中心差分和采用本發明混合方法計算得到的頻譜如圖2所示,可見兩者結果吻合的很好。計算耗時按表1所示,分別采用32,16,8,4個進程運行程序,可以看出本發明方法比傳統的方法計算時間大大節省。
進程數混合方法中心差分32212s359s16287s589s8518s1103s4768s2299s
表1

關 鍵 詞:
無條件 穩定 有條件 混合 時域 電磁 分析 方法
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